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[攻略] 勋章概率触发分布的说明

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GM活动员

无瑕的回忆『召唤好运的角笛』绿茵宝钻


    这个是之前的分析,非常浅显但是可以理解成入门级分析:https://www.gamemale.com/thread-109687-1-1.html

    单看期望收益获得的信息可能并不完全,比如咱们两个人期望收益都是1金币,第一枚徽章是100%+1金币,而第二枚徽章是1%+100金币,仅仅从收益的角度,你应该选择哪枚徽章呢?如果这个问题你不确定,我换一个方案,即方案三,为你提供两枚50%+1的徽章(假设不考虑勋章数量上限),你会选择这个吗

    不要被期望骗了



    我们主要针对上面三种方案背后的逻辑讨论,从两种不同路线进行分析:

    第一部分:单个勋章的分析
    ·        前提说明:
    1.     关注单个勋章触发后获得的金币数是一个无意义的数据,相对金币数而言,我们更关心触发概率,概率才是影响分布的首要条件,但是我们又不得不略微关注下数据,毕竟我们假设了一个极强的前提:期望不变。但是为了方便说明,我也会列举一些数值。
    2.     
    我们会分别从试验次数高和低,勋章触发概率高和低角度分别说明。
    3.     分布计算器网址:https://www.osgeo.cn/app/s0059,除非必要的说明,本文中为了方便编辑,不提供过多图片。

    我们手里有好多好多,好漂亮的勋章~这些勋章的期望收益都是一样的诶,你要如何选择呢
    100%+3金币|75%+4金币|25%+12金币|1%+300金币|...
    还有很多很多其他的,这些勋章的主要特征是期望收益相同

    下图展示了在不同的试验次数下,你的真实收益小于等于期望收益的概率
    可以看出,当试验次数较小且触发概率小于0.5时,分布是一个非常明显的右偏分布,用0.01这个概率说明,如果这枚徽章的触发概率是0.01,回100帖触发0次或者1次的概率约为73.6%,特别地,不触发(即亏本)的概率有36.6%,触发2次及以上(即血赚)的概率为26.4%;如果这枚徽章的触发概率是0.95,回100帖触发95次及以下的概率为56.4%,特别地,触发94次及以下(即亏本)的概率是38.4%,触发96次及以上(即血赚)的概率是43.6%。

    【第一部分结论】
    随着勋章触发概率的上升,当勋章触发概率小于0.5时,则为右偏分布,低于期望的结果将占比更大;当勋章触发概率大于0.5时,则为左偏分布,超过期望的结果将占比更大。这个数据会随着试验次数的上升而发生显著变化,在回10000帖的条件下,无论勋章触发概率是多少,都可以认为是正态分布。从二次分布,到泊松分布,再到正态分布的转变,本质上可以理解为偏度的逐渐降低,分布形状逐渐趋于正态,低于期望和高于期望的结果占比分别趋近于50%。

    以上是关于单个勋章触发情况的分析。



    第二部分:勋章拆分,一个勋章和两个勋章的差别,从而和无限的勋章的差别

    现在摆在你面前的徽章,它...突然裂开了!并且竟然无休无止地分裂!!!

    我们是否应该支持分割呢,如果分割,应该以何种方式分割为好呢?
    按照可加性理解勋章分割:。独立同分布的随机变量具有可加性,二次分布、泊松分布、正态分布均具有可加性,可加性给我们提供了这样的结论:在试验次数足够的情况下,平均拆分对期望以及分布是没有影响的。
    接下来着重讨论第一种情况:概率保持不变的情况下,平均拆分单个期望。这是一种比较简单的方式。
    1枚100%+36金|2枚100%+18金|3枚100%+12金
    或者1枚75%+36金|2枚75%+18金|3枚75%+12金...以及其他概率的拆分等等

    (请注意,拆分不一定是平均,比如1枚75%+36金的,分裂成1枚75%+10金和1枚75%+26金,不平均的拆分我们暂时不做讨论)

    我将在这里设置一个猎人陷阱,来猎捕出现的水怪,并对认真阅读的坛友表示感谢。如果您认真读了这个帖子的话,请在回复中至少包含两个数字。这个数字可以是文字,比如“楼主分析的乱七八糟”中的“七八”,也可以是数字,比如“我可能是那0.1%触发不了徽章的人”中的“0和1”。我会给前十个正确回帖的玩家1追随,如果是后来编辑的则自动失效。同时,我会在文末重新提及陷阱,请您在回复中尽可能不要表现出您看到了这段话。

    我们先以两枚徽章进行分析,1枚勋章,75%+2金,分裂为2枚勋章,每枚勋章的效果是75%+1金。改变数值在图像上的影响主要是拉长,因此第一种情况下,相当于把100次75%概率的模拟结果拉长2倍,而第二种情况则类似进行200次模拟75%的结果。拉长并不会改变超过期望人数占总人群比的比例,增加次数会降低偏度导致分布更倾向于正态分布,从而改变超过期望人数占总人群比的比例。

    在下面给出平均分成不同份数后真实收益小于期望收益的概率(p=100)。
    【第二部分结论】-(1)
    可以看出,只要勋章进行分割且概率低于50%时,那么你的真实收益小于期望收益的概率会随着勋章的分割而降低;如果勋章进行分割且概率高于50%时,那么你的真实收益大于期望收益的概率会随着勋章的分割而降低。说人话就是,高概率勋章不要切割,小概率勋章应切尽切。

    还有两种比较复杂的情况,分别是:
    1.概率不变,但是分割并不平均
    2.期望不变,分割概率(比如将一个50%+1的分割成5个10%+1的)

    其中第一种情况可以通过离散型卷积公式进行推导,第二种情况可能比较复杂,涉及到加和之后的概率是否超过50%的问题,理论上通过卷积公式也可以算出来,但是我困了

    目前没有完整地推导出这两个情况的影响,但是第一种情况,不平均分割的结论应该和平均分割的结论是相同的,不平均分割其实只需要通过卷积公式证明+3分割成+2和+1后,概率分布变化的情况即可

    第二种情况对是否分割结论影响不大,比如10%拆成两个5%,根据计算可以得到小于等于期望的概率分别是和58.316%和58.306%,二者相差并不大,如果80%拆成两个40%,根据计算得到小于等于期望的概率分别是53.983%和53.066%,这二者都表示出分割有利于改善自身情况。因此我猜测一个比较大胆的结论,即由次数上升导致偏度降低的修正强度,要高于概率降低所导致偏度上升的强度,这个结论可能在一定范围内是成立的,这个范围可能很大,但是推导起来应该会比较漫长,以后有时间可能会补充研究

    什么?你问我研究勋章拆分有什么用?你和大佬回帖期望都是3金,大佬是一个100%+3的徽章,你是一堆10%+5金什么的乱七八糟的徽章叠上去的,这就是研究勋章拆分的意义。

    and 这种研究就像是一个陷阱,如果你非常仔细地研究,会发现其中会有很多意想不到,或者说是不该出现的东西。我们往往设置至多两个变量就可以把这个问题研究得比较透彻,但是有的时候情况可能会过于复杂,以至于懒得仔细研究或者直接略过,这当然是无可厚非的,不过迎接真理的机会是有限的,对吧




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    【夏日限定】夏日的泰凯斯无瑕的回忆保卫领土裸体克里斯炙热的格拉迪欧拉斯岛田半藏士兵 76莱因哈特·威尔海姆杰西·麦克雷BIG BOSS

      说个大不敬的话
      表示现在买勋章都是看动画瑟不瑟惹
      老咸鱼的我好像没有考虑那么多
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      不曾寄出的信件『随时随地开启!』漂洋小船『随时随地开启!』冒险用指南针破损的旧书丛林的鸟飞走了雪王的心脏人鱼之泪幽灵竹筒

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        百相千面-晦永远的克叔業火死鬥实现梦想官复原职虚空之海的鲸Zootopia幸运女神的微笑『逆境中的幸运女神』御医神兔

          楼主的概率论一定学的很好,我已经晕倒了
          至少懂了一个小道理,想要赚的概率大于亏的概率,就去买触发概率大于50%的勋章

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          我的天使GM吸血伯爵吃饱金币的Doge阿拉喵?神灯和你一起飞行的皮卡丘小小舞台永浴爱河

            真.数据大佬啊~
            咱买勋章都是有啥买啥的(´×ω×`)要不就是挑喜欢的,不太在意概率啦~

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            史莱姆牧场风物长宜神奇四叶草和你一起飞行的皮卡丘『落樱缤纷』蓝礼·重生鹿三森林鹿王者之剑生金蛋的鹅人到中年

              PUCK 发表于 2023-4-13 01:52:39 | 显示全部楼层 |取消关注该作者的回复
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              十年一梦業火死鬥丹·雷诺斯

                不过论坛的触发概率一般都是0.1  0.08 0.04啥的吧,真有超过0.2 0.3的会有人错过吗

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                金钱马车龙鳞石幽灵竹筒步行鮟鱇死亡化身猪庇特我的天使镜中小鸟诡案谜集·黑夜之星诡案谜集·追击者

                  我觉得不管是五十还是百分之一的概率,都只是勋章的一种玩法,触发了爽就完啦~
                  其次说一下另一个角度,单算期望的话,实际上是在大量数据堆积起来的一种算法,就像楼主说的,一个1%的勋章+100和100%+1金币的期望是一样的,但是如果不是那种究极大水怪的话,是100%+1金币一定是大多数人的选择,尽管他们期望一样,但是概率的差距导致人们选择更稳妥的,当然不排除赌狗选择1%+100的,那勋章就玩的不是数值而是刺激性了,你可能期待他触发,但是不见得会有多高的期望。同样,一个75%触发概率的勋章,如果不触发,心里就会想这么高概率的勋章都不触发,我还真是倒霉。因此不同的心理预期会导致不同的看法。但是楼主的想法是没错的,勋章只计算期望确实是个坑,因为你不可能达到很高的回帖量去平均你的期望。

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                  诺克提斯·路西斯·伽拉姆Forever Titanic業火死鬥钢铁侠永远的克叔极·龙の意死灵之书卡利亚权杖虚空之海的鲸史莱姆牧场

                    我需要一些100%触发的徽章惹

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                    亚索月影狼晓月终焉旅行骰子!卡利亚权杖

                      所以说这篇为什么不发在勋章公会,发在五八版块会占用回帖限制啦XD
                      道理我都懂,已经在一步步地换掉低概率勋章了,但辉石触发了真的很爽,虽然我没有()

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                      组件大师

                      无瑕的回忆镜中小鸟香蕉特饮40x43 隐形➀香喷喷的烤鸡月影狼

                        本帖最后由 user_login 于 2023-4-13 02:14 编辑

                        看起来很高端的样子,我再学习一下,
                        有请我唯一指定狼宠@深暗幽狼

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                        桑克瑞德·沃特斯索尔·奥丁森阿列克西欧斯(Alexios)镜中小鸟钢铁勇士弯刀魯杰羅·弗雷迪沃特·沙利文Scott Ryder恶魔阿蕾莎

                          w410332639 发表于 2023-4-13 02:01:59 手机端 | 显示全部楼层 |取消关注该作者的回复
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                          钢铁侠SCP-s-1889-第二页卡利亚权杖诺曼底号男巫之歌岛田半藏骑士遗盔永浴爱河缘起星空永远的克叔

                            勋章还没满目前只考虑性价比呢持有时间肯定都会在小半年以上。所以最终还是努力向期望靠近。
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                            夏之歌小小舞台变身器近地夜航

                              謝謝你,我看不懂(
                              不過開頭問題一開始我就會選100%+1,不為什麽,只因我是一個非洲人,穩一點比較好

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                              无瑕的回忆炽天使之拥GHOST男用贞操带双向圣杯:焕然意志邪恶圣杯人鱼之泪破损的旧书布衣+12 传奇的

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                                裸体克里斯铁牛不灭狂雷永远的克叔雄躯的昇格泰比里厄斯十年一梦诺曼底号缘起星空

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                                  男巫之歌内森·德雷克『私有海域』裸体克里斯双向圣杯:焕然意志极·龙の意【圣诞限定】心心念念小雪人小小舞台御医神兔永浴爱河

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                                      本帖最后由 菜猫 于 2023-4-13 03:22 编辑

                                      写得很好,不过我可能是那0.1%触发不了徽章的人

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                                      参与人数 1血液 +3 堕落 +1 收起 理由
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                                      脉律辐石劫掠核芯御医神兔夏日柯基幽灵竹筒黄金树的恩惠探险三杰士图腾饼干生活拍立得璀璨金币

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