【数学】信封悖论

有两个信封，其中一个信封里装着另一个信封的钱的两倍，不公布总金额，只有打开信封才能知道这个信封有多少钱，假设两个人分别拿到这两个信封的一个：

（1）若拿到信封后双方都可检查自己的信封，不可检查对方的信封，过后双方可决定是否更换信封，双方会怎么做？
（2）若拿到信封后双方都可检查对方的信封，不可检查自己的信封，过后双方可决定是否更换信封，双方会怎么做？
让我们来分析一下：
第一种情况，你可能会这样分析：“假设一个人打开信封，看到有x元的金额。那么自己有50%拿到大额信封，50%获得小额信封。那么对方同样的，有50%拿到大额信封（即2x元），50%获得小额信封（即x/2元）。那么此刻交换的数学期望是0.5*2x+0.5*x/2>x。那肯定是交换更好。”
第二种情况，你可能会这样分析：“假设一个人打开信封，看到有x元的金额。那么对方有50%拿到大额信封，50%获得小额信封。那么自己同样的，有50%拿到大额信封（即2x元），50%获得小额信封（即x/2元）。那么此刻交换的数学期望是x<0.5*2x+0.5*x/2。那肯定是不换更好。”
不知道你有没有发现，第一种情况和第二种情况，只是获取信息的不同，你这样的分析会得出截然不同的结果。
其实这两种情况都是一样的，换与不换都不能让你得到大额信封的概率增大，因为你得到的是金额大的还是金额少的信封的概率都是50%。
让我们换一种分析方式：“假设你得到的金额是x，那么交换你就获利x；如果你得到的是2x，那么交换你就亏损x。此刻的数学期望是0.5*x-0.5*x=0.5*0+0.5*0，换不换都是一样的。”

搜了下，感觉相关讨论也蛮多的说

感觉有博弈论的内容

這讓我想到很經典的三門問題
三門問題的結論是無論如何都應該換
因為中獎率會從1/3變成2/3
但很多人卻無法理解 因為被1/2卡住了

我选择，直接拿钱走人。概率再大也不会完全发生，概率再小也不会不发生。想太多折磨自己～～

我选择立马转头溜人，数学别想再折磨我一星半点！

不好意思，数学是体育老师教的

不管什么概率就管人贪不贪心～如果觉得够了，不换就行～
数学问题的确是烧脑的东西

博弈论是吧，只能说玩这种的心都很脏

从看第一句开始就已经脑壳疼看不懂了

双信封悖论
不过我觉得这个问题出在于，条件1和条件合起来才是完整的假设

我也想到了三门问题，但是二选一的话概率应该不变吧

实际上肯定是没区别
觉得换有区别的，实际上是在两种情况下算的“期望”，实际上并不是期望

谢谢，安眠效果比较强

我看完愣了下，大脑的算法默认是你列示的第二种方法，也即去计算可能获利情况
相当于一半概率赚一倍，一半概率亏一半，交换后获利情况=0.5*x-0.5*x/2=0.5*x/2，算出来期望值大于0，让我小震惊，这就意味着两信封的拥有者都认为交换有利，不管是看了对方的还是看了自己的
然后是对比你的第二种算法，我不是很能理解，为什么你的亏损是按-x去计算

手快腿快可以拿到两个立刻跑路

惹，感觉挺复杂的呢

omg，搞了一天数学，上到论坛居然还能遇到数学，我和数学可真是有缘啊

这个信封悖论的问题感觉挺难的惹，好久不接触数学了

实际上2x和x/2里面只有一个是真实存在的，所以两者都参与计算的“期望”会不对。