【数学科普.原创】多项式插值

白冥 · 发表于 2024-7-13 04:41:13

　　相信所有人都在小时候写过在一组数字中找规律填空的数学题，相信在座的各位都可以轻易给出一个确定且大家觉得毋庸置疑、不容置辩、无懈可击、显而易见的答案。
　　但有没有一种可能？这个答案不唯一，甚至无穷无尽？
　　假设我们给出一组数字：1，2，3，4，…
很多人会认为下一个数字应该是5，但它可不可以是6？是7？你会说，这不对，这没有规律。
　　在二维平面上，任意由n+1个点可以唯一确定一条不超过 n 次的曲线，因此一定存在一条不超过5次的p次曲线经过(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,6)，这就是规律。
　　所以你甚至可以写上一个π，因为反正也一定存在一条不超过5次的p次曲线经过(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,π)。由此推广到在任意n个给定的数中，你仍然可以给要填第n+1个数上填任意的数字——无论是多离谱的数字。
　　为什么在二维平面上，任意由n+1个点可以唯一确定一条不超过 n 次的曲线呢？
　　假设我们要找一个不超过n阶段p阶多项式，满足当x=xi时，y=p(xi)，则可设p(x)=a_n*x＾n+a_(n-1)*x＾(n-1)+…+a_1*x+a_0，用线性方程组表示为：
　　[[x_n＾n,x_n＾(n-1),…,x_n＾1,x_n＾0][x_(n-1)＾n,x_(n-1)＾(n-1),…,x_(n-1)＾1,x_(n-1)＾0]…[x_1＾n,x_1＾(n-1),…,x_1＾1,x_1＾0][x_0＾n,x_0＾(n-1),…,,x_0＾1,x_0＾0]](a_n,a_(n-1),…,a_1,a_0)＾T=(y_n,y_(n-1),…,y_1,y_0)＾T
　　左侧的矩阵的行列式值是∏_(0≤i<j≤n) (xj-xi)，被称为范德蒙德行列式，它不为0当且仅当所有的xi两两不相同（相信以各位的水平很容易证出来，故略去不证）。由于所有的点两两不相同，所以这个行列式显然不为0。因此，该矩阵是可逆的，并且a_n，a_(n-1)，…，a_2，a_1，a_0有唯一解。
　　由于系数有唯一解，因此多项式 p(x) 也是唯一的。这证明了对于任何 n+1 个两两不同的点，都存在唯一的一个不超过 n 次的多项式，满足当x=xi时，y=p(xi)。
　　即在二维平面上，任意由n+1 个点都可以唯一确定了一条不超过 n 次的曲线。所以即使已知 n 个点的位置，也不能唯一确定一条不超过 n 次的曲线，因为第 n+1 个点的位置并没有确定，可以有多条不同的不超过n次的曲线通过这个点。